Tampilkan postingan dengan label Materi. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Materi. Tampilkan semua postingan

Rabu, 11 Agustus 2021

Materi Bilangan Bulat

A.   BILANGAN BULAT DAN PECAHAN
1.   Pengertian:
Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan bilangan bulat negatif. 
Himpunan bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z, lambang ini berasal dari bahasa Jerman, yaitu Zahlen yang berarti bilangan.

Materi MGMP Matematika SMP Tulungagung

Himpunan bilangan positif dikenal dengan istilah bilangan asli. Bilangan asli ditambah dengan nol disebut dengan bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah ditambah dengan bilangan negatif disebut bilangan bulat.
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Berdasarkan garis bilangan, kita mengetahui bahwa setiap bilangan bulat pada garis bilangan lebih besar dari bilangan bulat manapun di kiri dan sebaliknya.Garis bilangan terus berlanjut tidak terbatas di kedua sisinya. Berdasarkan hal tersebut, tidak ada bilangan bulat yang terkecil ataupun yang terbesar.
Bilangan cacah adalah merupakan himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan nol dan bilangan bulat positif. 
Bilangan bulat positif bisa juga disebut sebagai bilangan asli, merupakan himpunan bilangan bulat yang bernilai positif.
Sementara itu, bilangan bulat negatif merupakan himpunan bilangan bulat yang bernilai negatif.
Jika digambrakan pada garis bilangan, maka himpunan bilangan bulat akan tampak seperti pada gambar dibawah ini :
Pada Gambar A.1.1 merupakan garis bilangan yang menunjukkan letak :
Bilangan Nol= {0}
Bilangan Asli atau bilangan bulat positif = {1,2,3,4,5,,.}
Bilangan Cacah = {0,1,2,3,4, ….}
Bilangan Bulat Negatif = {...., ­5, ­4, ­3, ­2, ­1}
Bilangan Asli terbagi lagi menjadi bilangan ganjil, genap, prima, dan komposit.
Bilangan ganjil adalah himpunan bilangan yang bukan kelipatan 2 atau bilangan yang nilainya tidak habis jika dibagi 2.
Bilangan genap adalah himpunan bilangan kelipatan 2 atau nilainya akan habis jika dibagi 2.
Bilangan ganjil = {..., -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, …}
Bilangan genap = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, …}

Bilangan bulat Positif
Bilangan bulat positif adalah bilangan yang bernilai positif dan dimulai dari bilangan 1, 2 , 3 dan seterusnya. 
Contoh bilangan bulat positif adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya.
Bilangan bulat negatif
Bilangan bulat negatif adalah bilangan yang dimulai dari bilangan -1, -2, -3 dan seterusnya.
Contoh bilangan bulat negatif adalah -1, -2, -3, -4, -5, dan seterusnya.
Bilangan 0 (Nol)
Nol bukan bilangan positif atau pun bilangan negatif serta Nol.
Bilangan prima merupakan himpunan bilangan yang lebih besar dari 1 dan hanya bisa dibagi oleh angka 1 atau bilangan itu sendiri. 
Contoh bilangan prima adalah angka 2.
Angka 2 merupakan bilangan prima karena hanya bisa dibagi 1 dan angka itu sendiri, yaitu 2. Sedangkan 4 bukan merupakan bilangan prima karena selain bisa dibagi 1 dan 4, angka 4 juga bisa dibagi 2.
Contoh bilangan prima lainnya adalah sebagai berikut:
Bilangan prima = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Bilangan yang nilainya lebih besar dari 1 dan bukan termasuk bilangan prima, adalah bilangan komposit. Contoh bilangan komposit adalah angka 4 tadi.
Angka 4 lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima karena bisa dibagi 1, 2, dan 4.
Jadi, 4 termasuk bilangan komposit.
Contoh lainnya ada 6. Angka 6 juga termasuk bilangan komposit karena nilainya lebih dari 1 dan bukan bilangan prima (bisa dibagi 1, 2, 3, dan 6).
Bilangan komposit = {4, 6, 8, 9, 10, 12, ...}

2. Membandingkan Bilangan Bulat
Membandingkan bilangan bulat berarti menentukan apakah suatu bilangan bulat memiliki nilai lebih besar, lebih kecil, atau sama dengan bilangan bulat yang lain.
Dalam membandingkan bilangan bulat, kita bisa menuliskannya menggunakan lambang-lambang berikut ini:
Misalkan, a dan b merupakan bilangan bulat.
  • Jika a lebih besar dari b, maka bisa ditulis a > b
  • Jika a lebih kecil dari b, maka bisa ditulis a < b
  • Jika a sama dengan b, maka bisa ditulis a = b
3. Mengurutkan Bilangan Bulat
Mengurutkan bilangan bulat berarti menuliskan bilangan bulat tersebut secara urut dari nilai terkecil ke nilai terbesar atau sebaliknya. Pada garis bilangan, semakin ke kanan letak suatu bilangan, maka nilainya akan semakin besar. Sebaliknya, jika semakin ke kiri letak suatu bilangan, nilainya akan semakin kecil. Perhatikan gambar A.3.1 dibawah ini :
Contoh Soal dan Alternatif penyelesaian

Soal                : Urutkan bilangan bulat -2,8,10,-11 dan 1 dari bilangan yang terkecil ke bilangan yang                               terbesar!
Penyelesaian   : Perhatikan gambar A.3.2 garis bilangan dibawah ini!


Aturan pada garis bilangan adalah: semakin kekiri letak suatu bilangan nilainya semakin kecil, dan sebaliknya jika semakin ke kanan nilainya semakin besar, dengan demikian:
-11 < -2; -2 <1; 1<8 dan 8<10, atau bisa kita tulis:
-11 < -2 < 1 < 8 < 10;
Urutan bilangan mulai dari yang terkecil adalah: -11,-2,1,8,10

4. Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat
4.1 Penjumlahan dengan garis bilangan
Jika menggunakan garis bilangan, maka:
- Bilangan positif sebagai pergeseran ke kanan;
- Bilangan negatif sebagai pergeseran ke kiri;
Contoh :
1. 3 + 6 = …
Letak angka 3 adalah 3 langkah kekanan dari angka 0, jika ditambah 6, maka mulai dari angka 3 panah bergerak kekanan sebanyak 6 langkah, sehinga ujung panah menunjuk angka 9.

Jadi 3 + 6 = … (isi dengan nilai yang benar!)

2. 4 + (-7) = …

Letak angka 4 adalah 4 langkah kekanan dari angka 0, jika ditambah (-7), maka mulai dari angka 4 panah bergerak kekiri sebanyak 7 langkah, sehinga ujung panah menunjuk angka -4.
Jadi 4 + (-7) = …

4.2 Invers Jumlah atau Lawan suatu Bilangan
Lawan (invers jumlah) dari bilangan a adalah (-a)
Lawan (invers jumlah) dari bilangan (-a) adalah a
a + (-b) = a - b
Contoh:
a. 2 + (-5) = 2 – 5 = -3
b. 3 + (-2) = 3 – 2 = 1

4.3 Sifat-Sifat Penjumlahan Pada Bilangan Bulat
1. Sifat Tertutup
Artinya sembarang bilangan bulat jika dijumlahkan menghasilkan bilangan bulat juga
Contoh: 8 (bilangan bulat) + (-2) (bilangan bulat) = 6 (bilangan bulat)

2. Sifat Komutatif
Artinya untuk sembarang bilangan bulat a dan b jika dijumlahkan hasilnya sama dengan penjumlahan bilangan bulat b dan a
a + b = b + a
Contoh:
(-5) + 10 = 10 + (-5) = 5

3. Sifat Assosiatif
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku:
(a + b) + c = a + (b + c)
Contoh:
(4 + 5) + 7 = 4 + (5 + 7)
9 + 7 = 4 + 12
16 = 16

4. Penjumlahan dengan nol
a + 0 = 0 + a = a
Nol (0) disebut unsur identitas penjumlahan, artinya untuk sembarang bilangan bulat a selalu berlaku:
Contoh:
9 + 0 = 9 (hasilnya sama dengan bilangan itu sendiri)

4.4 Pengurangan Dan Sifat-Sifatnya
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku: a - b = a + (-b)
Artinya: mengurangkan b dari a sama artinya dengan menambahkan lawan b pada a.
Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif.
a - b tidak sama dengan b - a
(a - b) - c tidak sama dengan a - (b - c)

1. Sifat pengurangan bilangan nol (0)
a - 0 = a
0 - a = -a
0 - 0 = 0

2. Sifat tertutup pada pengurangan
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a-b = c, maka c bilangan bulat juga.

5. Operasi Perkalian Bilangan Bulat
Perkalian diartikan sebagai penjumlahan berulang.
Perkalian suatu bilangan dengan bilangan lain dapat juga dicari atau diubah menjadi bentuk penjumlahan berulang.
Contoh:
5 x 10
= 10 + 10 + 10 + 10 + 10
= 50

Seperti yang sudah kita pelajari, jika a merupakan bilangan bulat positif berarti nilai a > 0 dan jika a adalah bilangan bulat negatif berarti a < 0.

Sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bulat berikut!
SIFAT OPERASI PERKALIAN BILANGAN BULAT
Komutatif (Pertukaran)
a x b = b xa

Asosiatif (Pengelompokan)
a x (b x c )= (a x b) x c

Tertutup
jika a, b dan c bilangan bulat, maka a x b x c hasilnya juga merupakan bilangan bulat
Identitas perkalian

1 merupakan unsur identitas perkalian
a x 1 = 1 x a = a

Distributif terhadap operasi penjumlahan dan operasi pengurangan
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
a x (b - c) = (a x b) - (a x c)

6. Pembagian Bilangan Bulat.
Invers (lawan atau kebalikan) dari operasi perkalian adalah operasi pembagian.
Operasi pembagian biasanya disimbolkan dengan tanda titik dua (÷ atau :) atau tanda garis (/). Pembagian merupakan pengurangan berulang sampai habis.

6.1 Mengenal Operasi Pembagian Bilangan Bulat
Operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian.
Misalnya pada operasi pembagian bilangan 35:7= 5, jika diubah dalam bentuk operasi perkalian menjadi 7 x 5 = 35, atau 5 x 7 = 35. Sehingga dapat disimpulkan bahwa:

6.2 Sifat Pembagian Pada Bilangan Bulat
a. Pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif.
Perhatikan berikut:
- 8 : 2 = -4, sebab -4 x 2 = - 8
-12: 4 = -3, sebab – 3 x 4 = -12
-15: 3 = -5, sebab – 5 x 3 = -15

Dari pembagian diatas dapat disimpulkan:
Jika bilangan negatif dibagi bilangan positif hasilnya adalah bilangan negatif

b. Pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif.
Perhatikan pembagian berikut:
8 : -4 = -2, sebab -2 x -4 = 8
15 : -5 = -3, sebab -3 x -5 = 15
42: -7 = -6, sebab -6 x -7 = 42

Dari pembagian diatas dapat disimpulkan:
Jika bilangan positif dibagi bilangan negatif hasilnya adalah bilangan negatif

c. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif.
Perhatikan pembagian berikut:
-6 : -2 = 3, sebab 3 x -2 = -6
-20 : -2 = 10, sebab 10 x -2 = -20
-30 : -6 = 5, sebab 5 x -6 = -30

Dari pembagian diatas dapat disimpulkan: 
Jika bilangan negatif dibagi bilangan negatif hasilnya adalah bilangan positif
Kesimpulan:
Perkalian dua bilangan bulat